\loesung{021232}{BT} % das ist die L"osung 30 auf der Kopie
%AUTHOR="Burkhard Thiele"
%Quelle: Aufgaben mit L"osungen aus Olympiaden Junger Mathematiker der DDR
%        Band 1, VuW Berlin 1972, Seite 63
Die Zahl $z$ l"asst sich im dekadischen System folgenderma"sen darstellen:
$z=a_n10^n+a_{n-1}10^{n-1}+\cdots+a_110^1+a_010^0$, 
wobei $a_n,\dots,a_0$ nat"urliche Zahlen kleiner als 10 sind und $a_n\ne0$ ist.
Da $z$ durch 9 teilbar ist, ist die Quersumme von $z$: 
$Q(z)=a_n+a_{n-1}+\cdots+a_1+a_0$ durch 9 teilbar. 
Da $z$ durch 11 teilbar ist, ist die alternierende Quersumme von $z$: 
$Q^a(z)=(-1)^na_n+(-1)^{n-1}a_{n-1}\pm\cdots-a_1+a_0$ durch 11 teilbar.
Setzt man die Summe der positiven Summanden von $Q^a(z)$ gleich $a$, also
$a=a_0+a_2+\dots$ und die negative Summe der "ubrigen Summanden gleich $b$, also
$b=a_1+a_3+\dots$, so gilt: $Q(z)=a+b=9k$ und $Q^a(z)=a-b=11m$, wobei
$a$, $b$ nichtnegative ganze Zahlen, $k$ positive ganze Zahl und $m$ eine ganze Zahl bedeuten.

Die Aufgabe ist gel"ost, wenn $k\ne1$ gezeigt wird.

Angenommen, es gelte $k=1$, so folgt aus $a+b=9$ und $a-b=11m$:
$a=\frac{1}{2}(9+11m)$ und $b=\frac{1}{2}(9-11m)$. Da $a$ nichtnegativ und ganzzahlig ist, folgt
aus der Formel f"ur $a$: $m\ge1$.  
Da $b$ ebenfalls nichtnegativ und ganzzahlig ist, folgt
aus der Formel f"ur $b$ gleichzeitig $m\le-1$. Diese beiden Bedingungen f"ur $m$ sind jedoch unvereinbar miteinander. Daher ist die Annahme $k=1$ nicht richtig, und es ist $k\ge2$, d.\,h., die Quersumme $Q(z)$ ist gr"o"ser
oder gleich 18.